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    大学高数 学习课件ch5.2.1 可积条件.ppt

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    大学高数 学习课件ch5.2.1 可积条件.ppt

    1,5.2.12 可积条件,主题,研究极限,存在的条件.,一、可积的必要条件,定理5.2.1,若函数,在,上可积,,则,在,上有界.,为区间[a, b]上的分割.,若,在,上无界,,在某个,上无界.,*,证,反证法,2,证,反证法,设,为区间[a, b]上的分割.,若,在,上无界,,在某个,上无界.,*,在,的各个区间,上取定,则,为一定值,记,在,上无界推知,在,上无界,进而对任意M0,可取到,使,由*,得,故极限,不存在,,与函数,在,上可积矛盾.,证,反证法,3,定理5.2.1,若函数,在,上可积,,则,在,上有界。,逆命题不成立。,例如,狄利克雷函数,为有理数,为无理数,在区间为有界函数,但在任何区间,不可积.,函数,在,上有界,,是,在,上可积的必要条件.,4,二、 可积的充要条件,研究极限,存在的条件.,以下均设函数,为有界函数满足可积的必要条件.,设,为区间[a, b]上的分割.,5,1. Darboux上和与下和,设,在,上有界.,为区间[a, b]上的分割.,记,称,为,在区间[a, b]上关于分割T的上和.,称,为,在区间[a, b]上关于分割T的下和.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Darboux上和大和,Darboux下和小和,6,设,为区间[a, b]上的分割.,记,猜想与发现,1,三者大小有何关系,2,三者有何关系,7,3,三者的关系,若,存在,则,与,都存在;,首先,,. 反之亦然,1 上和与下和由分割T唯一确定与介点无关;,2,三者的大小关系,结论3由以下性质推得.,其次,,8,性质1分割加细时,上和不增,下和不减.,性质2若T1与T2为任意两个分割, TT1T2表示将T1与T2的所有分点合并而得的分割重复的分点只取一次, 则,性质3对任意两个分割T1与T2,总有,于是, 对区间[a,b]的所有分割来说, fx的下和有上界Mb-a, 所有上和有下界mb-a, 从而分别存在上确界S与下确界s .,Darboux定理,其中,9,1.性质1的具体描述设T1为分割T添加p个分点后得到的分割, 则,2. Darboux定理的证明,设T’由p个分点构成, 对于任意另一个分割T来说, TT’至多比T多p个分点, 由性质1和性质2得到,*,所以, 只要 ,,就有,结合*式, 得到,故,10,定理1 可表述为,函数,在,上可积的充要条件是,任给,相应存在[a, b]的一个分割T,,使得,称,为函数,在,上关于分割T的振幅和,2. 可积准则,定理1,函数,在,上可积的充要条件是,任给,总相应存在[a, b]的一个分割T,,使得,注意到,称,为函数,在,上的振幅.,定理1’,11,定理1,函数,在,上可积,定理1的几何意义,,,使得,反之也真,12,例1,若,存在,上的分割T,使得每个,则,在,上可积.,证,由假设,,存在,上的分割T,使得,相应得,在区间,上关于分割T的振幅和,由定理1,,在,上可积.,注,用定理1 讨论可积性问题时, 往往要对振幅和,进行放大估计.例1是通过放大振幅的来实现的.,13,三、可积函数类,定理2,若,在,连续,,则,在,上可积.,证,在,上连续,,故,在,上一致连续,从而,当,时,,有,所以,当,上的分割T满足条件,时,,由例1,,在,上可积.,14,定理3,若,在,上有界,,且只有有限个间断点,,则,在,上可积.,证,不妨设,只在,处间断.,设,为区间[a, b]上的分割.,相应的振幅和为,设,当,时,有,而f x在,连续,,由定理2,,f x 在,可积, 由定,理1,存在,的分割不妨设是分割T在,的部分,,使得,故,由定理1,,在,上可积.,15,定理4,若,在,上的单调,,则,在,上可积.,证,不妨设,为,上的增函数.,若,则,为常数函数,,显然可积.,当,时,,对,上的任一分割T,在区间,上的振幅为,于是,故对于,只要,就有,由定理1,,在,上可积.,注定理4是通过放大分割小区间的长度来估计振幅和.,16,例2,试用两种方法证明函数,在区间,可积.,证,证法一,因,在,上单调递增且有界,,所以,在,可积.,用定理4,17,例2,试用两种方法证明函数,在区间,可积.,证,证法二,用可积准则,设,为区间[0,1]上的分割.,相应的振幅和为,因,故对,当,时,有,而f x在,只有有限个间断,点且有界,由定理3,,f x在,可积,,由定理1存在,的分割不妨设是分割T在,的部分,,使得,即得,故f x在区间,可积.,18,例3 证明黎曼函数,p, q为正整数,,为既约真分数,x0,1,或为区间0,1的无理数,在区间,可积,,且,分析,在,内使得,的有理点只有有限个.故,的任意,分割T含这些有理点的,也只有有,限不妨设为m个,对应的振幅和,剩余n-m个,对应的振幅和,故当,时,,故f x在区间,可积.,19,20,21,例3 证明黎曼函数,p, q为正整数,,为既约真分数,x0,1,或为区间0,1的无理数,在区间,可积,,且,证,在,内使得,的有理点只有有限个,,设为,作,的分割,将,分为两类,其中,含有,不含,由于,在,上的振幅,于是当,时,,使得,22,而,在,上的振幅,于是,进而,由定理1,在,上可积.,因,在,上可积,,所以极限,存在.,当,全为无理点时,,进而,即,23,小结,可积的必要条件可积 有界,存在[a, b]的分割T,,使得,可积准则,可积函数类,定理2,若,在,连续,,则,在,上可积.,定理3,若,在,上有界,,且只有有限个间断点,,则,在,上可积.,定理4,若,在,上的单调,,则,在,上可积.,

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