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    大学高数 学习课件定积分习题课2012.ppt

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    大学高数 学习课件定积分习题课2012.ppt

    定积分习题课,一、与定积分概念有关的问题的解法,二、有关定积分计算和证明的方法,,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,例1. 求,解 因为,时,,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1 思考例1下列做法对吗 ,利用积分中值定理,原式,不对 ,,说明,2 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,解将数列适当放大和缩小,以简化成积分和,已知,利用夹逼准则可知,考研98 ,例2. 求,,思考,提示由上题,,故,练习 1.,求极限,解,原式,2. 求极限,提示,原式,左边, 右边,例3. 证明,证 令,则,令,得,故,例4.,设,在,上是单调递减的连续函数,,试证,都有不等式,证明显然,时结论成立.,用积分中值定理,当,时,,故所给不等式成立 .,,明对于任何,例5.,解,且由方程,确定 y 是 x 的可微函数 , 求,方程两端对 x 求导, 得,令 x 1, 得,再对 y 求导, 得,,故,例6.,求可微函数 f x 使满足,解 等式两边对 x 求导, 得,不妨设 f x≠0,,则,,注意 f 0 0, 得,,例7. 求多项式 f x 使它满足方程,解 令,则,代入原方程得,两边求导,可见 f x 应为二次多项式 ,,设,代入① 式比较同次幂系数 , 得,故,①,,再求导,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法,思考 下列作法是否正确,,例8. 求,解 令,则,原式,,例9. 求,解,,,例10. 选择一个常数 c , 使,解 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0 .,例11. 设,解,例12.,设函数 f x 在[a, b] 上连续,在a, b 内可导, 且,1 在a, b 内 f x 0 ;,2 在a, b 内存在点 , 使,3 在a, b 内存在与  相异的点 , 使,03考研,证 1,由 f x在[a, b]上连续,,,知 f a 0.,所以f x,,在a, b内单调增,,因此,2 设,满足柯西中值定理条件,,于是存在,即,,,3 因,在[a, ] 上用拉格朗日中值定理,,代入2中结论得,因此得,四.积分恒等式的证明 解法思路 (1)变量代换公式和分部积分公式本身就是高度普遍性的积分等式,亦可用来推出其它积分等式;(2)视为变限积分函数问题,转化为导数的应用问题。(3)用中值定理,例19. 证明恒等式,证 令,则,,,因此,又,故所证等式成立 .,,,五.积分不等式的证明 与积分等式的证明对应,解法思路(1)通过定积分估值性质比较大小;(2)视为变限积分函数问题,转化为导数的应用问题--函数的单调性;(3)利用重要不等式,如柯西不等式,例20. 设,证 设,且,试证 ,则,故 Fx 单调不减 ,,即② 成立.,②,六.积分中值问题 解法思路 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。,例23.,试证,使,,至少存在一点,提示,设辅助函数,习题课,1. 定积分的应用,几何方面 ,面积、,体积、,弧长、,表面积 .,*物理方面 ,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2. 基本方法 ,微元分析法,微元形状 ,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,定积分的应用,例1. 求抛物线,在0,1 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,且为最小点 .,故所求切线为,得[ 0 , 1] 上的唯一驻点,例2. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,1 求函数,2 a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解 1,由方程得,面积为 2 ,,体积最小 ,即,故得,又,,,2 旋转体体积,又,,为唯一极小点,,因此,时 V 取最小值 .,,故所求旋转体体积为,例3. 求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解 曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,例4. 半径为 R , 密度为,的球沉入深为H H 2 R ,的水池底, 水的密度,多少功 ,解,建立坐标系如图 .,则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,提出水面后的微功为,,,,,,,,,,现将其从水池中取出, 需做,微元体积,所受重力,上升高度,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,“偶倍奇零”,,,,,,,,,例5. 设有半径为 R 的半球形容器如图.,1 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为,为h 0 h R 时水面上升的速度 .,2 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最,少应为多少 ,解 过球心的纵截面建立坐标系如图.,则半圆方程为,,设经过 t 秒容器内水深为h ,,,,,,,,,1 求,由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为,而高为 h 的球缺的体积为,半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成,体积元素,,故有,两边对 t 求导, 得,,at 升 ,,,,,2 将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对应于,微元体积,微元的重力 ,薄层所需的功元素,,,,,,,故所求功为,,到池沿高度所需的功.,,,

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