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    大学高数 学习课件不定积分概念和性质.PPT

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    大学高数 学习课件不定积分概念和性质.PPT

    ,,,,,,,例,定义,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理,简言之连续函数一定有原函数.反之不真.,问题,1 若原函数存在, 原函数是否唯一,例,( 为任意常数),2 若不唯一它们之间有什么联系,注 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,关于原函数的说明,(1)若 ,则对于任意常数 ,,(2)若 和 都是 的原函数,,则,( 为常数),证,( 为常数),不定积分的定义,所有原函数的集合.,例1 求,解,解,例2 求,说明若能将 表为初等函数,就说此积分是可求积的. 但并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的.比如,虽然它们的原函数都存在,但却无法用初等函数来表示. 由此可见,初等函数的原函数未必是初等函数.,由不定积分的定义,可知,结论,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,例3 已知,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、 基本积分表,基本导数公式,(常数和基本初等函数的导数公式),,基本积分表 ,是常数;,例4 求积分,解,根据积分公式(2),,证,等式成立.,(此性质可推广到有限多个函数之和的情况),三、 不定积分的性质,例5 求积分,解,下面用直接积分法计算不定积分(即利用线性性和基本积分公式).,例6 求积分,解,例7 求积分,解 原式,例8 求积分,解 原式,例9 求积分,解,说明,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.,例10 求积分,解 原式,解,所求曲线方程为,基本积分表1,不定积分的运算性质,原函数的概念,不定积分的概念,求微分与求积分的互逆关系,四、 小结,注一个函数的原函数表现形式可能不一样, 如,函数 都是 的原函数.,,补充,命题设,对左侧,有类似结论. 由此给出,导数极限定理,注一般函数在某点存在极限时可以在该点不连续。导数极限定理表明若导函数在某点存在极限,则导函数一定在该点连续.,导数极限定理的直接证明(命题的证明是类似的),导数极限定理是导函数的一个独特性质. 由此得到,由已知,f在c连续. 由命题成立两等式,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,推论 设f在区间I上可导,则其导函数在I内不可能有第一类间断点.,证,导函数的介值性是导函数的另一个独特性质,因为它无须导函数连续.,结论,定理,证,注由Darboux定理还能得到如下有趣结果,练习题,练习题答案,

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