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    大学高数 学习课件换元法.PPT

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    大学高数 学习课件换元法.PPT

    ,,,,,,问题,,解决方法,利用复合函数,设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法(凑微分法),不对,因为,在一般情况下,由此可得换元法定理,考虑,如果,则,第一类换元公式(凑微分法),说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同,所得结论不同.,定理1,例1 求,解(一),解(二),解(三),例2 求,解,一般地,例3 求,解,,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,原式,例10 求,解,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分.,例12 求,解,例13 求,解(一),(使用了三角函数恒等变形),解(二),类似地可推出,解,例14 设 求 .,令,例15 求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,(应用“凑微分”即可求出结果),二、第二类换元法,若后者容易积分,问题就解决了.,( 严格单调就可保证),第二类积分换元公式,常见三角代换、倒代换、根式代换,例16 求,解,令,被积函数含有形如,的根式时,,用三角函数或双曲函数作代换. 目的去掉根号.,例17 求,解,令,例18 求,解,令,说明1,以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明2,积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对的,需根据被积函数的情况来定,如,说明3,(三角代换很繁琐),令,解,(凑),例20 求,解,令,说明4,积分中为了化掉根式有时大胆令根式为一个变元很有效.,例,例例例例例例例例例例例例例例例例,说明5,当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,例22 求,解,令,(分母的阶较高),例23 求,解,令,类似地,,例24,基本积分表 ,三、小结,两类积分换元法,(一)凑微分,(二)三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表2,被积函数含有形如,的根式时,,用三角函数或双曲函数作代换. 目的去掉根号.,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对的,需根据被积函数的情况来定.,有时大胆令根式为一个变元很有效.,当分母的阶较高时, 可采用倒代换,当被积函数含有两种或两种以上的根式 时,可采用令 (其中 为各根指数的最小公倍数),其它可用换元法情形.,思考题解答,思考题,练 习 题,练习题答案,

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