单涡卷蔡氏电路的非线性时间序列分析.docx

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早期的频谱分析方法假设任何无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期性波动，借助傅立叶分析从频率的角度揭示时间序列的规律。

后来借助傅立叶变换，用正弦和余弦项的和来近似一个函数。

1、蔡氏电路，一个简单的非线性电子电路设计，可以表现出标准的混沌理论行为。

2、与信号分析类似，时间序列分析方法也有时域和频域方法；有单变量法和多变量法；有线性方法，也有非线性方法；连续序列和离散序列。

时间序列分析的常用方法:趋势拟合法和平滑滑动法。

它可以是线性的，也可以是非线性的。

作者首次对时间序列分析的相关进展进行了详细而全面的描述。

3、单卷蔡氏电路的非线性时间序列分析张捷孙俊峰迈克尔小香港九龙香港理工大学电子及信息工程系摘要:蔡氏电路显示单涡卷引物时，其输出是具有明显周期成分的伪周期时间序列。

4、对于这类时间序列，我们采用几种最新的方法来分析和刻画其混沌动力学特性，包括将时间序列划分为单周期，在时域和相空间研究其相关性质，统计系统的递归时间分布。

这些新方法进一步加深了我们对单卷蔡氏电路混沌吸引子的理解。

5、关键词:单卷蔡氏电路；伪周期时间序列；复杂网络；重现时间；混乱近年来，非线性科学和混沌理论在保密通信、电力电子、自动控制、生物医学等诸多工程领域得到广泛应用1，如利用混沌同步实现保密通信、通过反馈方法控制混沌奇怪吸引子的不稳定周期轨道等，成为通信领域2和自动控制领域的研究热点，并已进入应用阶段。

蔡氏电路一直是电路与系统研究的热点。

6、它是目前众多混沌电路中最具代表性的，其典型的电路结构成为混沌理论和实验研究的范例。

7、蔡氏电路可以表现出一系列复杂的混沌动力学特性，但对其单涡卷吸引子的研究很少。

8、当蔡氏电路表现为单涡卷吸引子时，其分量中含有明显的周期分量，如图1所示。

相应的时间序列是伪周期时间序列。

传统的基于混沌理论的非线性时间序列分析方法往往不适用于伪周期时间序列，因为伪周期时间序列固有的周期性可能掩盖了原有的混沌特性3。

此外，噪声必然导致关联维数、李亚普诺夫指数等传统混沌不变量失效3。

本文采用一种新的伪周期时间序列分析方法3，4和状态递归时间对蔡氏电路单涡卷的吸引子分量进行分析，旨在多方面、更鲁棒地刻画这一时间序列的确定性分量(如混沌)，从而对系统的混沌动力学特性有更深入的认识。

这些描述也可用于其他目的，如系统识别。

时间序列1的混沌特征检测周期的时域相关性图1(a)蔡氏电路的单涡卷混沌吸引子。

(b)蔡氏电路的组成部分。

相应的等式是:,图1(a)蔡氏电路的单涡卷混沌吸引子(b)对应的时间序列。

首先，我们根据局部最大(或最小)值将时间序列(10个观测值)划分为一个连续的周期。

对于每一对圈和()，我们用它们的相关系数来衡量它们在相空间中的相似性或距离3。

事实上，如果两个循环具有高相关系数，则它们在相空间中的距离也很小。

对于每一个循环，我们把其他所有的循环按照它们离的距离升序排列，得到一个列向量，其中距离最近的循环的序号是。

取出每个()中的第一个循环，串联起来得到一行向量，表示为。

自然，原始时间序列可以表示为。

可以发现该序列与原序列最接近(因为序列中的每一个循环都是与原序列对应的循环最接近的)，它是第二接近的，以此类推。

使用图示中周期的序列号，接下来我们寻找满足以下关系的周期对:。

(其中代表中的第一个元素)。

我们在表示中使用满足上述条件的循环对的数量。

从物理上来说，这意味着两个彼此非常接近的循环以及随时间的演化会导致两个非常接近的轨道(或循环链)。

对于混沌系统，由于相邻轨道呈指数发散，所以和之间的关系应该是指数的，即和之间的关系是线性的，如图2所示。

其斜率表示相似的周期发散速度，称为周期发散率。

第二个统计数据是每个周期背离率的平均值，称为平均周期背离率。

也就是说，每个和的和满足一个幂律关系，如图3所示，它的斜率也表明了一个相似的循环发散速度，但是对噪声更鲁棒。

第三个统计量是空间散度率，它反映了确定性成分在过程中是如何减少的，如图4所示。

对于混沌系统，和之间也有一个递减的幂关系。

以上统计的详细推导过程可参考原文3。

图2x分量的周期发散率图2x分量的周期发散率。

图3x成分的平均周期发散率图3x分量的平均周期发散率。

x分量的空间发散率。

图4x分量的空间发散率。

相空间中两个循环的相关性在前一节的基础上，将时间序列划分为连续的周期，并使用相关系数作为它们之间距离的度量。

我们进一步将时间序列映射到复杂网络域4，其中每个循环对应复杂网络中的一个节点，两个循环是否连通取决于它们的相关系数是否足够大(大于一个阈值)。

近十年来复杂网络已经成为一个前沿和热点问题4，并且已经涉及到科学研究和工程的大部分领域。

复杂网络的概念使得研究复杂系统成为可能。

通过上面提出的映射方法，原始时间序列的动态特性将反映在相应复杂网络的拓扑结构中，网络拓扑结构的统计量可以用来描述时间序列的时域特性。

图5显示了与时间序列相对应的复杂网络。

可以看出它具有高度的聚类特征，所有节点(即循环)都位于一个低维流形结构中，表明原始时间序列起源于一个确定性的低维系统。

图6示出了在一系列不同阈值下复杂网络的度分布曲线。

图中的峰值对应于系统的不稳定周期轨道(UPO)。

不同混沌系统的UPO分布的差异可以通过图6中的二维分布来研究。

由于篇幅所限，这里只给出一个初步的结果，更复杂的网络拓扑统计可以用来深入研究和描述原系统。

图5由x分量构成的复杂网络。

图5由x组件构建的复杂网络。

图6由x分量构成的复杂网络的二维分布图6由x分量构成的复杂网络的2D度分布。

2重现时间分析动力系统的状态递归性是混沌系统的一个重要特征。

近年来对状态重现时间的统计研究表明，混沌系统的平均状态重现时间遵循一种幂律5关系5，这种关系可以用来检测参数漂移引起的非平稳性和定位分岔6。

状态递归还广泛应用于混沌时间序列的降噪、预测和时频分析7，可以揭示混沌系统的时间拓扑关系。

接下来，将对蔡氏电路仿真生成的数据进行循环时间计数。

对于时间序列，用延时法重构相空间，得到相向量序列，其中是延时和嵌入维数。

然后，对于给定的参考相位点，定义其邻点集，其中是邻点集的半径，这些邻点按下标升序排列如下，其中是邻点数(如果所研究的混沌系统具有遍历性，那么可以任意选取参考相位点)。

这些相邻点是参考相位点的庞加莱递归点。

将第一种重复时间定义为:，。

对于从连续时间系统得到的时间序列，一个小的延迟时间会导致多个连续的相位点在同一个邻近轨道(循环轨道)上作为邻近点(如图7所示)。

显然，同一轨道上相邻点之间的递归时间很短(一个或几个)，第一类递归时间不能很好地代表系统相轨道的递归。

为此，在每个邻近轨道中只能取一个最接近参考相位点的相位点，以形成第二类邻近点集。

类似地，第二类重现时间可以通过将第二类邻近点按下标升序排列并计算下标的差来获得。

R1R0R2图7邻近点集示意图。

R0代表参考轨道，R1代表第一邻近轨道，R2代表第二邻近轨道，黑点代表参考相位点，其他点代表第一类邻近点，其中灰点代表第二类邻近点，大圆圈代表邻近点集。

图7复发点示意图。

对于从连续时间系统得到的时间序列，研究表明首次重现时间的平均值遵循一个幂律关系:其中是信息维数)；混沌系统。

第二次重现时间的平均值也遵循幂律关系:5。

蔡氏电路得到的时间序列的递归时间的统计分析如图8所示(为了比较最近邻点集的半径和重构吸引子的大小，将时间序列归一化到相空间重构前的区间0。

图8表明，对于蔡氏电路的时间序列，很好地遵循幂律关系(如图A所示)，其斜率随参考相位点而变化，反映了吸引子不同部分的状态重现频率不同。

在半径较大的区域(如B所示)，也很好地遵循幂关系。

当半径较小时，第一类邻点集在每个邻轨上基本只能取一个邻点，即第一类邻点集与第二类邻点集基本相同，因此在较小区间内表现一致。

平均重现时间与邻近点集半径的幂关系。

图8平均复发时间对邻域半径的幂律标度。

3结论本文对单涡卷蔡氏电路的伪周期时间序列输出进行了非线性时间序列分析。

结果表明，将序列划分为单个周期，在时域和相空间研究其相关特性，统计状态重现时间，可以更好地揭示和描述原系统的混沌动力学特性。

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编号:时间:2021年X月X日这是一条通往书籍之山的道路，学习永无止境页码:第1页，共1页非线性Ti。