高考数学复习 高一数学对称问题课件.ppt

一.中心对称关于点的对称 一）点关于点的对称 点P1x1,y1关于点Mm,n对称的点P2为 2m-x1,2n-y1;特别地,Px,y关于原点0,0 的对称点坐标为-x,-y. 练习 1求点P2,5关于点Q-3,-7的对称点. 2若点A0,-3关于点M的对称点为B-7,5.求M 的坐标. 二）直线关于点的对称 直线lAxByC0关于点Mm,n对称的直 线l1的方程为A2m-xB2n-yC0. 例1.求直线m2x3y-10关于点P1,4对称 的直线n的方程. 解法一直接代入上面结论 法二在直线m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点 落在直线n上. 法三显然直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等. 一般地曲线f（x，y）0关于点M（m，n）的对称曲线 方程为f（2m-x，2n-y）0 特别地曲线f（x，y）0关 于原点（0，0）的对称曲线方程为f（-x，-y）0 . 二.轴对称即关于直线的对称 例2.求点A-7,1关于直线l2x-y-50的对称点B的坐标. 解法一 设Bm,n）由点关于直线对称的定义知 线段ABl 即; -1 线段AB被直线l平分,即线段AB的中点 在直线l上,故有 2 - -50 一点关于直线的对称 联立 解得m9 n -7 B9,-7 （法二）直线ABl, 直线AB过点（-7，1） 直线AB的方程为y-1- （x7） 即x2y50 由 解得 即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1） 由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）. 小结求点Px0,y0关于直线lAxByC0对称点 Qx1,y1的方法 1（综合求解） 由点关于直线对称的定义及直 线l垂直平分线段PQ得方程组 由（1）（2）可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标 2（分步求解）可先求直线PQ的方程,然后解出 直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标, 最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标. （3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线AxByC0 的对称点Q的坐标为 一般地 点（x0，y0）关于直线yx的对称点为（y0，x0） 点（x0，y0）关于直线y-x的对称点为（-y0，-x0） 点（x0，y0）关于直线yxb的对称点为（y0-b，x0b） 点（x0，y0）关于直线y-xb的对称点为（b-y0，-x0b） 点（x0，y0）关于直线y0（即x轴）的对称点为（ x0，-y0） 点（x0，y0）关于直线x0（即y轴）的对称点为（-x0，y0） 点（x0，y0）关于直线ym的对称点为（x0，2m-y0） 点（x0，y0）关于直线xn的对称点为（2n-x0，y0） 注当对称轴的斜率为1或对称轴与坐标轴垂直时可用上 述方法直接求出对称点的坐标。 （二）直线关于直线的对称 例3.求直线m x-y-20关于直线l 3x-y30对称的直线n的方程. 解设直线m, l, n的斜率分别为k1 ,k, K2 . 由直线关于直线对称的定义知直线m到 直线l的角等于直线l到直线n的角.又 k11,k3 解得k2-7 由 解得 x y o m n l 即直线m,l,n的交点为 直线n的方程为 法二 在直线x-y-20上任取一点如A2,0,则A关于直 线l的对称点A1 落 在直线n上,然后解出直线l和 m的交点,由直线方程的两点式求出直线n的方程. 例4.已知ABC的顶点为A-3,0, B0,3, C3,-12求A 的内角平分线所在的直线方程. 解（法一）设 A平分线所在直线l的斜率为k 直线AC到l的角等于l到直线AB的角,又kAC-2, kAB1 K3- 其方程为 即 （法二）设A的内角平分线 交直线BC与点T A的内角平分线的斜率 K-2,1, 点T分有向线段 的 比为 设T（x，y），由定比分点坐标公式得 x A B C y o T T 由直线方程的两点式求得A内角平分线所在直线的方程 问（1）你会用第三种方法解这道题吗 （2） 你会求A外角平分线所在直线的方程吗 一般地求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可 以转化为求点关于直线的对称点来解决。 特别地当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为1时可用以下 结论直接代入； 设直线方程为f（x，y）0则 直线f（x，y）0关于直线yx对称的直线方程为f（y，x）0 直线f（x，y）0关于直线y--x对称的直线方程为f（-y，-x）0 直线f（x，y）0关于直线yxb对称的直线方程为f（y-b，xb）0 直线f（x，y）0关于直线y-xb对称的直线方程 为f（b-y，-xb）0 直线f（x，y）0关于直线y0（x轴）对称的直线方程为f（x，-y）0 直线f（x，y）0关于直线x0（y轴）对称的直线方程为f（-x，y）0 直线f（x，y）0关于直线ym对称的直线方程为f（x，2m-y）0 直线f（x，y）0关于直线xn对称的直线方程为f（2n-x，y）0 三.对称问题的应用 （一）涉及定直线l上一点P与两定点A，B的距离和（或差 ）的最值问题 1.若A，B两点在直线的同侧 （1）设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的 交点P使得|PA||PB|最小； （2）直线AB与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大。 2.若A,B两点在直线的异侧 1直线AB与直线l的交点P使得|PA||PB|最小; 2设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P 使得||PA|-|PB||最大. 二涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对 称问题来解决. 例5.已知两点A2,15,B-3,5,在直线l3x-4y40上找一 点P,使得 1|PA||PB|最小,并求出其最小值; 2||PA|-|PB||最大,并求出其最大值. 例6.自点A-3,3发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其 反射光线所在直线与圆x2y2-4x-4y70相切,求光线l所在直 线的方程. 练习题 1点M -1,3关于直线xy-10的对称点为____关于直线y2x的对 称点为_ _ 关于点9,0的对称点为 2直线x2y-10关于直线x-y20的对称直线的方程为________关 于直线y-x的对称直线为________关于直线x30对称直线为____ 3直线3x-4y30关于x轴对称的直线方程为___________关于y轴 的对称直线方程为_______________关于原点的对称直线方程为 4光线从M-2,3射到x轴上一点P1,0后被x轴反射,则入射光线和 反射光线所在的直线方程分别为_____________若光线射到直线 y2x上呢 5光线沿着斜率为 的直线l1射在斜率为 的直线l2上反射,若l1和 l2的交点为-1,2,求反射光线所在的直线方程. 6已知ABC的一个顶点A4,-1,其内角B,C的平分线方 程分别为yx-1和x1,求边BC,AB所在的直线方程. 7直线y2x是ABC中角C的平分线所在的直线方程, A-4,2,B3,1求C的坐标,并判断ABC的形状. 8 ABC的两条高线方程为2x-3y10和xy0,顶点A的 坐标为1,2,求BC 边所在的直线方程. 9已知ABC的一个顶点A-4,2,中线BD,CE所在的直线方 程分别为3x-2y20和3x5y-120,求边BC所在的直线方程. 10已知ABC的一个顶点A3,-1,AB边上的中线所在的 直线方程为6x10y-590B的平分线所在直线方程为x- 4y100,求边BC所在的直线方程. 11已知点A2,0,B-2,-2,在直线lxy-30上求一点P 使|PA||PB| 最小 变形在l上求一点Q使得| |QA|-|QB| |最大. 12已知点A4,1,B0,4,在直线l3x-y-10上求一点P 使|PA||PB| 最小. 变形在直线l上求一点Q使得| |QA| -|QB| |最大.